12. Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
Ответ. Дуги двух равных окружностей c общей хордой (без концов этой хорды).
Решение. Пусть AB
— данный отрезок, а данный угол равен \alpha
. Построим два треугольника ABC
и ABC'
так, чтобы точки C
и C'
лежали по разные стороны от прямой AB
и \angle ACB=\angle AC'B=\alpha
. Опишем окружности около этих треугольников. Докажем, что искомое геометрическое место точек — это две дуги построенных окружностей: дуга AB
описанной окружности треугольника ABC
, содержащая точку C
, и дуга AB
описанной окружности треугольника ABC'
, содержащая точку C'
.
Если точка M
, отличная от A
и B
, лежит на первой из этих дуг, то по теореме о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу
\angle AMB=\angle ACB=\alpha.
Аналогично, для точки, лежащей на второй дуге.
Обратно, пусть точка N
такова, что \angle ANB=\alpha
. Предположим, что при этом точки N
и C
лежат по одну сторону от прямой AB
. Докажем, что точка N
лежит на первой из построенных дуг. Допустим, что это не так. Если точка N
расположена внутри окружности, то продолжив отрезок AN
за точку N
, получим точку K
пересечения луча AN
с окружностью. Тогда
\angle AKB=\angle ACB=\alpha=\angle ANB,
что невозможно, так как ANB
— внешний угол треугольника BKN
, а тогда
\angle ANB=\angle AKB+\angle KBN\gt\angle AKB.
Аналогично для случая, когда точка N
лежит вне окружности.
Если точки N
и C
лежат по разные стороны от прямой AB
, то рассуждая аналогично, докажем что точка N
лежит на второй из построенных дуг.
Таким образом, мы доказали, что из каждой точки построенных дуг (кроме A
и B
) отрезок AB
виден под углом \alpha
, и обратно, если из какой-то точки отрезок AB
виден под углом \alpha
, то эта точка лежит на одной из построенных дуг.
