19. AA_{1}
и BB_{1}
— высоты треугольника ABC
. Докажите, что:
а) треугольник AA_{1}C
подобен треугольнику BB_{1}C
;
б) треугольник ABC
подобен треугольнику A_{1}B_{1}C
;
в) найдите коэффициент подобия треугольников A_{1}B_{1}C
и ABC
, если \angle ACB=\gamma
.
Ответ. в) |\cos\gamma|
.
Указание. Постройте на стороне AB
как на диаметре окружность.
Решение. Первый способ. а) Прямоугольные треугольники AA_{1}C
и BB_{1}C
подобны по двум углам.
б) Отрезок AB
виден из точек A_{1}
и B_{1}
под прямым углом. Поэтому точки A_{1}
и B_{1}
лежат на окружности с диаметром AB
.
Пусть треугольник ABC
остроугольный. Тогда
\angle ABC=\angle ABA_{1}=180^{\circ}-\angle AB_{1}A_{1}=\angle CB_{1}A_{1}.
Следовательно, треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C
подобны по двум углам.
Пусть \angle BAC\gt90^{\circ}
. Тогда вписанные углы AB_{1}A_{1}
и ABA_{1}
опираются на одну и ту же дугу, значит,
\angle CB_{1}A_{1}=\angle AB_{1}A_{1}=\angle ABA_{1}=\angle ABC.
Следовательно, треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C
подобны по двум углам. Для случая \angle BAC=90^{\circ}
утверждение очевидно.
Аналогично для случая, когда \angle ABC\geqslant90^{\circ}
.
в) Пусть k
— коэффициент подобия треугольников A_{1}B_{1}C
и ABC
. Тогда, если \gamma\lt90^{\circ}
, то из прямоугольного треугольника CAA_{1}
находим, что
k=\frac{CA_{1}}{CA}=\cos\angle C=\cos\gamma.
Если же \angle ACB\gt90^{\circ}
, то аналогично находим, что
k=\frac{CA_{1}}{CA}=\frac{CB_{1}}{CB}=\cos(180^{\circ}-\angle C)=-\cos\gamma.
Второй способ. а), б) Прямоугольные треугольники AA_{1}C
и BB_{1}C
подобны по двум углам, поэтому \frac{CA_{1}}{CB_{1}}=\frac{CA}{CB}
. Следовательно, треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C
подобны по двум сторонам и углу между ними.
