113. Окружность касается прямых
AB
и
BC
соответственно в точках
D
и
E
. Точка
A
лежит между точками
B
и
D
, а точка
C
— между точками
B
и
E
. Найдите площадь треугольника
ABC
, если
AB=13
,
AC=1
, а точки
A
,
D
,
E
и
C
лежат на одной окружности.
Ответ.
\frac{15\sqrt{3}}{4}
.
Указание. Докажите, что треугольник
ABC
— равнобедренный.
Решение. Поскольку
BD=BE
и
BD\cdot AB=BE\cdot BC
, то
BC=AB=13
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\sqrt{BC^{2}-\frac{AC^{2}}{4}}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{13^{2}-\frac{1}{4}}=\frac{15\sqrt{3}}{4}.