114. Точки A_{1}
и B_{1}
принадлежат сторонам соответственно OA
и OB
угла AOB
, не равного 180^{\circ}
, и OA\cdot OA_{1}=OB\cdot OB_{1}
. Докажите, что точки A
, B
, A_{1}
, B_{1}
принадлежат одной окружности.
Указание. Проведите окружность через три из этих четырёх точек.
Решение. Первый способ. Проведём окружность через точки A
, B
и B_{1}
. Если A_{2}
— точка пересечения прямой OA
с окружностью, отличная от A
, то
OA_{2}\cdot OA=OB_{1}\cdot OB=OA_{1}\cdot OA.
Значит, точки A_{1}
и A_{2}
совпадают. Следовательно, точка A_{1}
также лежит на проведённой окружности.
Второй способ. Из условия задачи следует, что \frac{OA}{OB}=\frac{OB_{1}}{OA_{1}}
, поэтому треугольники AOB
и B_{1}OA_{1}
подобны. Значит,
\angle A_{1}B_{1}O=\angle OAB~\Rightarrow~\angle BAA_{1}+\angle BB_{1}A_{1}=(180^{\circ}-\angle OAB)+\angle A_{1}B_{1}O=180^{\circ}.
Следовательно, около четырёхугольника AA_{1}B_{1}B
можно описать окружность, т. е. точки A
, B
, A_{1}
, B_{1}
лежат на одной окружности.
Примечание. Если точки A_{1}
и B_{1}
принадлежат продолжениям сторон соответственно OA
и OB
угла AOB
, не равного 180^{\circ}
, и OA\cdot OA_{1}=OB\cdot OB_{1}
, то точки A
, B
, A_{1}
, B_{1}
также принадлежат одной окружности.