134. Три равные окружности имеют общую точку H
, а точки их пересечения, отличные от H
, образуют треугольник ABC
. Докажите, что H
— точка пересечения высот треугольника ABC
.
Указание. \angle BAH=\angle BCH,~\angle ABH=\angle ACH,\angle CBH=\angle CAH.
Решение. Пусть ABC
— остроугольный треугольник. Заметим, что
\angle BAH=\angle BCH,~\angle ABH=\angle ACH,~\angle CBH=\angle CAH.
Обозначим эти углы \alpha
, \beta
, \gamma
соответственно. Тогда 2\alpha+2\beta+2\gamma=180^{\circ}
. Поэтому \alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}
.
Пусть K
— точка пересечения прямой BH
с отрезком AC
. Тогда
\angle BKC=180^{\circ}-\alpha-\beta-\gamma=90^{\circ}.
Аналогично для неостроугольного треугольника.
