141. Пусть BB_{1}
и CC_{1}
— высоты непрямоугольного треугольника ABC
. Докажите, что \angle AB_{1}C_{1}=\angle ABC
.
Решение. Из точек B_{1}
и C_{1}
сторона BC
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BC
.
Если треугольник ABC
остроугольный (рис. 1), то четырёхугольник BC_{1}B_{1}C
— вписанный, поэтому
\angle ABC=\angle C_{1}BC=180^{\circ}-\angle CB_{1}C=\angle AB_{1}C_{1}.
Если угол A
тупой (рис. 2), то вписанные в окружность с диаметром BC
углы CB_{1}C_{1}
и CBC_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ABC=\angle C_{1}BC=\angle CB_{1}C_{1}=\angle AB_{1}C_{1}.
Если же \angle B\gt90^{\circ}
(рис. 3), то вписанные в окружность с диаметром BC
углы CB_{1}C_{1}
и CBC_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ABC=180^{\circ}-\angle CBC_{1}=180^{\circ}-\angle CB_{1}C_{1}=\angle AB_{1}C_{1}.
Аналогично для случая, когда \angle C\gt90^{\circ}
.
Примечание. См. также статью Э.Г.Готмана «Вспомогательная окружность», Квант, 1971, N1, с.28-31.