158. Через точку O
внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
проведены четыре окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается двух смежных сторон четырёхугольника. Докажите, что около четырёхугольника ABCD
можно описать окружность.
Указание. Четырёхугольник с вершинами в центрах окружностей — вписанный.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
— центры окружностей. Эти точки лежат на окружности с центром O
и радиусом OA_{1}
. Стороны четырёхугольника ABCD
соответственно параллельны сторонам внутреннего четырёхугольника A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Поэтому углы этих четырёхугольников соответственно равны.
Поскольку четырёхугольник A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— вписанный, то сумма его противоположных углов равна 180^{\circ}
. Тогда сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD
также равна 180^{\circ}
. Следовательно, он вписанный.
