173. Докажите, что в любом треугольнике ABC
середина стороны BC
лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной вершине A
, и делит этот отрезок пополам.
Указание. Если AA_{1}
— диаметр описанной окружности, а H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, то четырёхугольник HBA_{1}C
— параллелограмм.
Решение. Пусть AA_{1}
— диаметр описанной окружности, H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Тогда
A_{1}C\parallel BH,~A_{1}B\parallel CH,
поэтому четырёхугольник HBA_{1}C
— параллелограмм. Следовательно, середина его диагонали BC
лежит на диагонали HA_{1}
и делит её пополам.
