179. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты BD
и CE
. Из вершин B
и C
на прямую ED
опущены перпендикуляры BF
и CG
. Докажите, что EF=DG
.
Указание. Опустите перпендикуляр из середины стороны BC
на прямую DE
.
Решение. Поскольку из точек D
и E
отрезок BC
виден под прямым углом, то точки B
, C
, D
и E
лежат на окружности с центром в середине O
стороны BC
.
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на DE
. Тогда DH=HE
(диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам) и GH=HF
, так как OH
— средняя линия трапеции BFGH
. Следовательно, EF=DG
.
