395. Трапеция разделена на три трапеции прямыми, параллельными основаниям. Известно, что в каждую из трёх получившихся трапеций можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, вписанной в среднюю трапецию, если радиусы окружностей, вписанных в две оставшиеся, равны R
и r
.
Ответ. \sqrt{Rr}
.
Указание. Отношение соответствующих элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия.
Решение. Пусть NM
— большее основание нижней трапеции MBCN
, A
— точка пересечения прямых MB
и NC
. Обозначим через x
искомый радиус. Тогда паре окружностей, расположенных в треугольнике ABC
, соответствует пара окружностей, расположенных таким же образом в подобном ему треугольнике AMN
. Поэтому \frac{r}{x}=\frac{x}{R}
, откуда x^{2}=rR
.
