415. В прямоугольном треугольнике ABC
с острым углом A
, равным 30^{\circ}
, проведена биссектриса BD
другого острого угла. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, вписанных в треугольники ABD
и CBD
, если меньший катет равен 1.
Ответ. \frac{\sqrt{96-54\sqrt{3}}}{3}
.
Указание. Если O_{1}
, O_{2}
— центры данных окружностей, то \angle O_{1}DO_{2}=90^{\circ}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O
— центры данных окружностей, P
и Q
— точки их касания со стороной AC
. Тогда
AC=\sqrt{3},~DC=\frac{\sqrt{3}}{3},~AD=\frac{2\sqrt{3}}{3},~BD=\frac{2\sqrt{3}}{3},~AB=2;
DP=\frac{AD+AB+BD}{2}-AB=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}};
DQ=\frac{DC+CB+DB}{2}-BC=\frac{\sqrt{3}-1}{2}
(см. задачу 219);
DO_{1}=\frac{DP}{\cos60^{\circ}}=\frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}};~DO_{2}=\frac{DQ}{\cos30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}.
Поскольку треугольник O_{1}DO_{2}
прямоугольный, то
O_{1}O_{2}^{2}=O_{1}D^{2}+O_{2}D^{2}=\left(\frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{96-54\sqrt{3}}{9}.