417. В четырёхугольнике ABCD
расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон AB
, BC
и CD
, а другая — сторон AB
, AD
и CD
. Прямая MN
пересекает стороны AB
и CD
соответственно в точках M
и N
и касается обеих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если периметр четырёхугольника MBCN
равен 2p
, BC=a
и разность радиусов окружностей равна r
.
Ответ. \sqrt{r^{2}+(p-a)^2}
Указание. Если F
и Q
— точки касания данных окружностей со стороной AB
, то FQ=MN
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей, F
и Q
— точки их касания со стороной AB
. Тогда FQ=MN=p-a
.
Пусть K
— основание перпендикуляра, опущенного из O_{1}
на QO_{2}
. Тогда
KO_{2}=|QO_{2}-FO_{1}|=r.
Отсюда находим, что
O_{1}O^{2}_{2}=r^{2}+(p-a)^{2}.