438. Дана окружность с центром в точке O
и радиусом 2. Из конца отрезка OA
, пересекающегося с окружностью в точке M
, проведена касательная AK
к окружности, \angle OAK=60^{\circ}
. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков AK
, AM
и дуги MK
.
Ответ. 2-\frac{4}{3}\sqrt{2}
.
Указание. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания.
Решение. Пусть O_{1}
— центр искомой окружности, F
— точка касания окружности с отрезком AM
, P
— с дугой MK
, x
— искомый радиус. Тогда
OF=OA-AF=\frac{OK}{\sin60^{\circ}}-FO_{1}\ctg30^{\circ}=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{3x}{\sqrt{3}}=\frac{4-3x}{\sqrt{3}},
OO_{1}=OP+PO_{1}=2+x.
В прямоугольном треугольнике OFO_{1}
имеем:
OO^{2}_{1}=OF^{2}+O_{1}F^{2},~\mbox{или}~(2+x)^{2}=\frac{(4-3x)^{2}}{3}+x^{2}.
Из этого уравнения находим, что
x=2-\frac{4}{3}\sqrt{2}~\mbox{или}~x=2+\frac{4}{3}\sqrt{2}.
Поскольку 2+\frac{4}{3}\sqrt{2}\gt2
, то условию задачи удовлетворяет только первый корень.
