462. Докажите, что наибольшее расстояние между точками двух окружностей, лежащих одна вне другой, равно сумме радиусов этих окружностей и расстояния между их центрами.
Указание. С помощью обобщённого неравенства треугольника докажите, что расстояние между любыми двумя точками этих окружностей не больше указанной суммы.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей радиусов r
и R
соответственно, а линия центров пересекает окружности соответственно в точках A
и B
, причём O_{1}
и O_{2}
лежат между A
и B
. Тогда, если X
и Y
— произвольные точки, лежащие соответственно на первой и второй окружности, то
XY\leqslant O_{1}X+O_{1}O_{2}+O_{2}Y=AO_{1}+O_{1}O_{2}+BO_{2}=r+O_{1}O_{2}+R,
причём равенство достигается только в случае, когда X
совпадает с A
, а Y
— с B
.