470. Докажите, что из всех хорд, проходящих через точку A
, взятую внутри круга и отличную от центра, наименьшей будет та, которая перпендикулярна диаметру, проходящему через точку A
.
Указание. Из двух хорд данной окружности наименее удалённая от центра имеет большую длину.
Решение. Пусть O
— центр данной окружности, MN
— хорда, проходящая через точку A
перпендикулярно диаметру, содержащему отрезок OA
, P
— проекция центра O
на произвольную хорду XY
окружности, проходящую через точку A
и отличную от MN
.
Поскольку катет OP
прямоугольного треугольника APO
меньше гипотенузы AO
, то хорда XY
ближе к центру окружности, чем хорда MN
. Следовательно, XY\gt MN
.