562. В равнобедренном треугольнике основание равно 30, а боковая сторона равна 39. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ. 10.
Указание. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен площади треугольника, делённой на его полупериметр.
Решение. Первый способ. Найдём высоту треугольника, опущенную на основание:
h^{2}=39^{2}-15^{2}=24\cdot54=36^{2},~h=36.
Искомый радиус равен площади треугольника, делённой на его полупериметр:
r=\frac{S}{p}=\frac{15\cdot36}{18}=10.
Второй способ. Поскольку треугольник равнобедренный, то центр O
его вписанной окружности лежит на высоте AM
, опущенной на основание BC
. Пусть K
— точка касания вписанной окружности с боковой стороной AC
. Тогда
KC=CM=15,~AK=39-15=24,~AM=36.
Радиус OK
вписанной окружности найдём из подобия треугольников AOK
и ACM
.
Третий способ. По свойству биссектрисы треугольника AO:OM=AB:BM
. Следовательно,
r=OM=\frac{15\cdot36}{15+39}=10.