568. Расстояние между центрами двух окружностей, лежащих одна вне другой, равно 65; длина их общей внешней касательной (между точками касания) равна 63; длина их общей внутренней касательной равна 25. Найдите радиусы окружностей.
Ответ. 38 и 22.
Указание. Опустите перпендикуляр из центра одной окружности на радиус (или его продолжение) другой окружности, проведённый в точку касания с общей внешней (или внутренней) касательной.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, A
и B
— точки касания с общей внешней касательной, C
и D
— с внутренней, r
и R
(r\lt R
) — радиусы окружностей.
Если K
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O_{1}
на O_{2}B
, а P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O_{2}
на продолжение O_{1}C
, то
O_{2}K^{2}=(R-r)^{2}=O_{1}O^{2}_{2}-O_{1}K^{2}=
=O_{1}O^{2}_{2}-AB^{2}=65^{2}-63^{2}=128\cdot2=16^{2},
O_{1}P^{2}=(R+r)^{2}=O_{1}O^{2}_{2}-O_{2}P^{2}=
=O_{1}O^{2}_{2}-CD^{2}=65^{2}-25^{2}=40\cdot90=60^{2}.
Из системы
\syst{R-r=16\\R+r=60\\}
находим, что R=38
и r=22
.