572. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите расстояние от центра вписанной окружности до высоты, опущенной на гипотенузу.
Ответ. 1.
Указание. Искомое расстояние равно расстоянию между основанием указанной высоты и точкой касания вписанной окружности с гипотенузой.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности, Q
и P
— точки касания с меньшим катетом BC
и гипотенузой AB
, CM
— высота треугольника, OK
— искомое расстояние. Если r
— радиус вписанной окружности, то
r=\frac{BC+AC-AB}{2}=\frac{20+15-25}{2}=5
(см. задачу 217). Поэтому
CQ=r=5,~BP=BQ=BC-CQ=15-5=10,
BM=\frac{BC^{2}}{AB}=\frac{225}{25}=9,
OK=PM=BP-BM=10-9=1.
