595. На окружности радиуса 12 с центром в точке O
лежат точки A
и B
. Прямые AC
и BC
касаются этой окружности. Другая окружность с центром в точке M
вписана в треугольник ABC
и касается стороны AC
в точке K
, а стороны BC
— в точке H
. Расстояние от точки M
до прямой KH
равно 3. Найдите величину угла AOB
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Указание. Составьте уравнение относительно половины искомого угла (или докажите, что центр второй окружности расположен на первой).
Решение. Первый способ. Пусть M'
— середина меньшей дуги AB
. Тогда
\angle M'AB=\frac{1}{2}\cup M'B=\frac{1}{2}\cup M'A=\angle CAM'.
Поэтому AM'
— биссектриса угла CAB
. Следовательно, точка M'
совпадает с центром M
окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, F
— проекция точки M
на OB
, Q
— середина KH
. Из подобия треугольников OMF
и MHQ
следует, что
\frac{MQ}{OF}=\frac{MH}{OM},~\mbox{или}~\frac{3}{12-r}=\frac{r}{12}.
Отсюда находим, что r=6
. Поэтому
\frac{OF}{OM}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.
Следовательно, \angle MOB=60^{\circ}
, а \angle AOB=120^{\circ}
.
Второй способ. Пусть P
— середина AB
, Q
— середина KH
. Обозначим \angle COB=\alpha
. Тогда
HB=BP=OB\sin\angle COB=12\sin\alpha.
С другой стороны,
HB=BC-CH=OB\tg\alpha-MH\tg\alpha=\left(12-\frac{3}{\cos\alpha}\right)\tg\alpha.
Таким образом, имеем уравнение
12\sin\alpha=\left(12-\frac{3}{\cos\alpha}\right)\tg\alpha,
или
4\cos\alpha=4-\frac{1}{\cos\alpha},
или
4\cos^{2}\alpha-4\cos\alpha+1=0.
Откуда находим, что \cos\alpha=\frac{1}{2}
. Поскольку \alpha\lt90^{\circ}
, то \alpha=60^{\circ}
и \angle AOB=2\alpha=120^{\circ}
.