658. Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
(\angle B
— прямой), площадь которого равна 4+2\sqrt{2}
, вписан в окружность. Точка D
лежит на этой окружности, причём хорда BD
равна 2. Найдите хорды AD
и CD
.
Ответ. 2
; 2(1+\sqrt{2})
или 2(1+\sqrt{2})
; 2
.
Указание. С помощью теоремы косинусов составьте уравнение относительно AD
.
Решение. Обозначим через a
катеты треугольника. Из условия задачи следует, что
\frac{a^{2}}{2}=4+2\sqrt{2}.
Поэтому a^{2}=8+4\sqrt{2}
.
Пусть точка D
принадлежит дуге AB
, не содержащей точки C
. Поскольку
\angle ADB=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ},
то по теореме косинусов
AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}-2AD\cdot BD\cos135^{\circ},
или
8+4\sqrt{2}=AD^{2}+4+2AD\sqrt{2}.
Отсюда находим, что
AD=\sqrt{2}-\sqrt{6+4\sqrt{2}}=-\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2.
Аналогично из треугольника BDC
(\angle BDC=\angle BAC=45^{\circ})
находим, что DC=2(\sqrt{2}+1)
.