670. Свойство параллельных прямых. Две параллельные прямые пересечены третьей. Докажите, что внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180^{\circ}
.
Решение. Пусть прямая c
пересекает прямые a
и b
в точках A
и B
соответственно. Прямая c
разбивает плоскость на две полуплоскости. На прямых a
и b
в разных полуплоскостях отметим точки C
и D
соответственно. Тогда CAB
и DBA
— внутренние накрест лежащие углы. Нужно доказать, что \angle CAB=\angle DBA
.
Прямая a
также разбивает плоскость на две полуплоскости. От луча AB
в полуплоскость, содержащую точку C
, отложим угол CAC_{1}
, равный углу DBA
(это можно сделать по аксиоме откладывания углов: от любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180^{\circ}
, и только один). Тогда по признаку параллельности прямых, прямая AC_{1}
параллельна прямой b
, а так как через точку, не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, параллельная данной, то прямая a
совпадает с прямой AC_{1}
. Следовательно, a\parallel b
.
Поскольку сумма смежных углов равна 180^{\circ}
, равенство внутренних накрест лежащих углов равносильно тому, что сумма внутренних односторонних углов равна 180^{\circ}
.