680. Дан треугольник ABC
. На прямых AB
, BC
и CA
взяты точки C_{1}
, A_{1}
, и B_{1}
соответственно, отличные от вершин треугольника. Докажите, что окружности, описанные около треугольников AB_{1}C_{1}
, A_{1}B_{1}C
, A_{1}BC_{1}
, пересекаются в одной точке.
Указание. Докажите, что точка пересечения окружностей, описанных около двух из указанных треугольников, лежит на окружности, описанной около третьего. Рассмотрите все возможные случаи.
Решение. Обозначим через M
точку пересечения окружностей, описанных около треугольников AB_{1}C_{1}
и CA_{1}B_{1}
, отличную от B_{1}
, и докажем, что точка M
лежит на окружности, описанной около треугольника A_{1}BC_{1}
.
Пусть точка лежит внутри треугольника ABC
. Тогда
\angle A_{1}BC_{1}+\angle A_{1}MC_{1}=\angle B+360^{\circ}-\angle B_{1}MC_{1}-\angle A_{1}MB_{1}=
=\angle B+360^{\circ}-(180^{\circ}-\angle A)-(180^{\circ}-\angle C)=\angle B+\angle A+\angle C=180^{\circ}.
Следовательно, точки B
, A_{1}
, M
, C
лежат на одной окружности.
Пусть теперь точка M
лежит вне треугольника ABC
. Рассмотрим случай, когда точка M
расположена внутри угла BAC
. Тогда
\angle A_{1}MC_{1}=\angle B_{1}MC_{1}-\angle B_{1}MA_{1}=180^{\circ}-\angle A-\angle C=\angle B.
Поэтому точки A_{1}
, M
, B
и C_{1}
лежат на одной окружности. Аналогично рассматриваются остальные возможные случаи.