704. Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр большей окружности, пересекает её в точках A
и D
, а меньшую окружность — в точках B
и C
. Найдите отношение радиусов окружностей, если AB:BC:CD=3:7:2
.
Ответ. 3:2
.
Указание. Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.
Решение. Пусть M
— точка касания, r
и R
(r\lt R
) — радиусы окружностей, Q
— центр большей из них. Обозначим AB=3x
, BC=7x
, CD=2x
. Тогда
R=\frac{AB+BC+CD}{2}=6x,~BQ=AQ-AB=R-3x=3x,
QC=R-2x=4x,~MQ=R=6x,~QP=2r-MQ=2r-6x
(где MP
— диаметр меньшей окружности).
По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд
BQ\cdot QC=MQ\cdot QP,~\mbox{или}~3x\cdot4x=6x\cdot(2r-6x).
Из этого уравнения находим, что r=4x
. Следовательно,
\frac{R}{r}=\frac{6x}{4x}=\frac{3}{2}.
