723. Из вершины тупого угла A
треугольника ABC
опущена высота AD
. Из точки D
радиусом, равным AD
, описана окружность, пересекающая стороны треугольника AB
и AC
в точках M
и N
соответственно. Найдите сторону AC
, если известно, что AB=c
, AM=m
и AN=n
.
Ответ. \frac{mc}{n}
.
Указание. Докажите, что треугольники AMN
и ACB
подобны.
Решение. Продолжим AD
до пересечения с указанной окружностью в точке P
. Тогда \angle AMN=\angle APN
, а так как \angle ANP=90^{\circ}
, то \angle APN=\angle ACB
. Поэтому треугольники AMN
и ACB
подобны. Следовательно,
\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}.
Отсюда находим, что
AC=\frac{AB\cdot AM}{AN}=\frac{mc}{n}.
