750. В окружность вписана трапеция ABCD
(AD
— большее основание). Из вершины C
проведён перпендикуляр к AD
, пересекающий окружность в точке E
. Отношение длины дуги BC
(не содержащей точки D
) к длине дуги CDE
равно 1:2
. Радиус окружности равен высоте трапеции. Найдите отношение AD:BC
.
Ответ. \sqrt{4\sqrt{3}-3}
.
Указание. Сумма градусных мер двух указанных дуг равна 180^{\circ}
.
Решение. Поскольку \angle BCE=90^{\circ}
, то BE
— диаметр окружности. Поэтому сумма градусных мер указанных дуг равна 180^{\circ}
,
\cup BC=60^{\circ},~\cup CDE=120^{\circ},~\angle BEC=30^{\circ},~\angle CBE=60^{\circ}.
Пусть R
— радиус окружности, O
— её центр, BK=CF=R
— высоты трапеции. Тогда
BC=BE\sin30^{\circ}=R,~CE=2R\sin60^{\circ}=R\sqrt{3}.
Если M
и N
— середины хорд AD
и CE
, то
OM=NF=CF-CN=R-\frac{R\sqrt{3}}{2}=\frac{R(2-\sqrt{3})}{2}.
Тогда
AD=2AM=2\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}=
=2\sqrt{R^{2}-R^{2}\frac{(2-\sqrt{3})^{2}}{4}}=R\sqrt{4\sqrt{3}-3}.
Следовательно,
\frac{AD}{BC}=\sqrt{4\sqrt{3}-3}.
