777. Около прямоугольного треугольника ABC
описана окружность. Расстояния от концов A
и B
гипотенузы AB
до прямой, касающейся окружности в точке C
, равны m
и n
соответственно. Найдите катеты AC
и BC
.
Ответ. \sqrt{m(m+n)}
, \sqrt{n(m+n)}
.
Указание. Пусть CM
— высота треугольника ABC
. Докажите, что AM=m
.
Решение. Пусть P
и Q
— проекции точек A
и B
на указанную касательную, CM
— высота треугольника ABC
. Треугольник AMC
равен треугольнику APC
, так как
\angle PCA=\angle ABC=90^{\circ}-\angle CAB=\angle ACM
(по теореме об угле между касательной и хордой). Следовательно, AM=AP=m
. Аналогично BM=BQ=n
. Поэтому
AC^{2}=AM\cdot AB=m(m+n),~BC^{2}=BM\cdot AB=n(m+n).
