784. Докажите, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
Указание. Опишите окружность около данного треугольника и продолжите биссектрису до пересечения с этой окружностью.
Решение. Пусть в треугольнике ABC
точки H
, D
и M
— основания соответственно высоты, биссектрисы и медианы, проведённых из вершины B
.
Опишем около треугольника ABC
окружность. Пусть P
— точка пересечения прямой BD
с этой окружностью. Тогда P
— середина дуги AC
. Значит, прямая, проведённая через точку P
параллельно BH
, перпендикулярна хорде AC
(так как BH\perp AC
) и, поэтому проходит через её середину M
.
Поскольку точки B
и P
лежат по разные стороны от прямой AC
, то точка D
лежит между проекциями концов отрезка BP
, т. е. между точками H
и M
.
