790. Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного вокруг окружности четырёхугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания сторон первого четырёхугольника с окружностью.
Указание. С помощью формулы S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma
докажите, что отрезки, соединяющие противоположные точки касания, делят диагональ данного четырёхугольника в одном и том же отношении.
Решение. Пусть E
, F
, G
и K
— точки касания окружности со сторонами AB
, BC
, CD
и AD
описанного четырёхугольника ABCD
, M
— точка пересечения AC
и EG
. Тогда
\frac{S_{\triangle AEM}}{S_{\triangle CGM}}=\frac{AM\cdot EM\sin\angle AME}{CM\cdot GM\sin\angle CMG}=\frac{AE\cdot EM\sin\angle AEM}{CG\cdot GM\sin\angle CGM}.
Поскольку \sin\angle AME=\sin\angle CMG
и \sin\angle AEM=\sin\angle CGM
, то из полученного равенства отношений следует, что \frac{AM}{CM}=\frac{AE}{CG}
, т. е. прямая EG
делит диагональ AC
данного четырёхугольника в отношении \frac{AE}{CG}
.
Точно так же убеждаемся, что прямая FK
делит ту же диагональ в отношении \frac{AK}{CF}
, а так как AE=AK
и CG=CF
, то \frac{AK}{CF}=\frac{AE}{CG}
. Следовательно, прямая FK
проходит через точку M
.
Аналогично докажем, что BD
проходит через точку пересечения EG
и FK
.
Примечание. Это утверждение можно доказать и с помощью теоремы Брианшона (см. Г.С.М.Коксетер, С.Л.Грейтцер: Новые встречи с геометрией, с.98).