825. Дан треугольник ABC
, AB\lt BC
. Докажите, что для произвольной точки M
на медиане, проведённой из вершины B
, \angle BAM\gt\angle BCM
.
Решение. Пусть D
— середина стороны AC
. Рассмотрим треугольники ABD
и CBD
с общей стороной BD
. Известно, что AD=CD
и AB\lt BC
, поэтому \angle ADB\lt\angle CDB
(см. задачу 3606).
Рассмотрим треугольники AMD
и CMD
с общей стороной MD
. Известно, что AD=CD
и \angle ADM\lt\angle CDM
, поэтому AM\lt CM
.
Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих, поэтому S_{\triangle ABD}=S_{\triangle CBD}
и S_{\triangle AMD}=S_{\triangle CMD}
, значит,
S_{\triangle ABM}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AMD}=S_{\triangle CBD}-S_{\triangle CMD}=S_{\triangle CBM},
или \frac{1}{2}AB\cdot AM\sin\angle BAM=\frac{1}{2}BC\cdot CM\sin\angle BCM
, а т.к AB\lt BC
и AM\lt CM
, то \sin\angle BAM\gt\sin\angle BCM
.
Если оба этих угла острые, то \angle BAM\gt\angle BCM
, что и требовалось доказать.
Если один из этих углов тупой или прямой, то это может быть только угол BAM
, так как угол BCM
— часть острого угла ACB
(в треугольнике ABC
это угол, лежащий против не самой большой стороны). Следовательно, и в этом случае \angle BAM\gt\angle BCM
.