864. Около окружности радиуса R
описан параллелограмм. Площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности и параллелограмма равна S
. Найдите стороны параллелограмма.
Ответ. \frac{4R^{3}}{S}
.
Указание. Данный параллелограмм — ромб. Четырёхугольник с вершинами в точках касания — прямоугольник с острым углом между диагоналями, равным острому углу ромба.
Решение. В данный параллелограмм ABCD
вписана окружность, поэтому ABCD
— ромб. Пусть A
— его острый угол. Четырёхугольник с вершинами в точках касания — прямоугольник с диагоналями, равными 2R
. Обозначим угол между ними через \alpha
. Тогда
S=\frac{1}{2}2R\cdot2R\sin\alpha=2R^{2}\sin\alpha,
откуда \sin\alpha=\frac{S}{2R^{2}}
.
Пусть K
— проекция точки B
на сторону AD
. Тогда
AB=\frac{BK}{\sin\angle A}=\frac{2R}{\sin\alpha}=\frac{2R}{\frac{S}{2R^{2}}}=\frac{4R^{3}}{S}.
