869. Центр O
окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе AC
прямоугольного треугольника ABC
. Катеты треугольника касаются окружности. Найдите площадь треугольника ABC
, если известно, что OC=5
.
Ответ. \frac{147}{8}
.
Указание. Пусть P
и Q
— точки касания окружности с катетами BC
и AB
. Рассмотрите подобные треугольники AQO
и OPC
.
Решение. Пусть P
и Q
— точки касания окружности с катетами BC
и AB
. Из прямоугольного треугольника OPC
находим, что
PC=\sqrt{OC^{2}-OP^{2}}=4.
Из подобия прямоугольных треугольников AQO
и OPC
находим, что
AQ=\frac{OP\cdot QO}{PC}=\frac{3\cdot3}{4}=\frac{9}{4}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}(AQ+QB)(BP+PC)=\frac{1}{2}\left(\frac{9}{4}+3\right)(3+4)=\frac{147}{8}.
