888. В равнобедренный треугольник с основанием a
и углом при основании \alpha
вписана окружность. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся боковых сторон треугольника и вписанной в него окружности. Найдите радиус второй окружности.
Ответ. \frac{1}{2}a\tg^{3}\frac{\alpha}{2}
.
Указание. Пусть O
и Q
— радиусы первой и второй окружностей, F
— точка касания первой окружности с боковой стороной данного треугольника, P
— проекция точки Q
на OF
. Рассмотрите треугольник OPQ
.
Решение. Пусть O
— центр окружности радиуса r
, вписанной в треугольник ABC
(AB=BC
, AB=a
, \angle A=\angle B=\alpha
), M
и F
— её точки касания со сторонами AB
и AC
, Q
— центр второй окружности, x
— её радиус. Из прямоугольного треугольника OMA
находим, что
r=AM\tg\angle OAM=\frac{1}{2}a\tg\frac{\alpha}{2}.
Пусть P
— проекция точки Q
на OF
. Из прямоугольного треугольника QPO
находим, что
OP=OQ\cos\angle POQ,~\mbox{или}~r-x=(r+x)\alpha.
Следовательно,
x=\frac{r(1-\cos\alpha)}{1+\cos\alpha}=\frac{\frac{1}{2}a\tg\frac{\alpha}{2}\cdot2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{2}a\tg^{3}\frac{\alpha}{2}.