889. В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a
и углом при основании \alpha
. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся обеих боковых сторон треугольника и первой окружности. Найдите радиус второй окружности.
Ответ. \frac{a}{2\sin\alpha(1+\cos\alpha)}
.
Указание. Рассмотрите треугольник CPQ
, где C
— вершина данного равнобедренного треугольника, Q
— центр второй окружности, P
— её точка касания с боковой стороной данного треугольника.
Решение. Пусть Q
— центр второй окружности, r
— её радиус, P
— точка касания с боковой стороной AC
треугольника ABC
, R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
(AC=BC
, AB=a
, \angle A=\angle B=\alpha
), D
— точка касания окружностей. Тогда точка Q
принадлежит диаметру CD
первой окружности.
Из прямоугольного треугольника CPQ
находим, что
PQ=CQ\cos\angle PQC=CQ\cos\alpha,~\mbox{или}~r=(2R-r)\cos\alpha.
Поэтому
r=\frac{2R\cos\alpha}{1+\cos\alpha}.
Поскольку
2R=\frac{AB}{\sin\angle ACB}=\frac{a}{\sin(180^{\circ}-2\alpha)}=\frac{a}{\sin2\alpha},
то
r=\frac{a\cos\alpha}{\sin2\alpha(1+\cos\alpha)}=\frac{a}{2\sin\alpha(1+\cos\alpha)}.