898. В прямоугольном треугольнике ABC
с острым углом 30^{\circ}
проведена высота CD
из вершины прямого угла C
. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ACD
и BCD
, если меньший катет треугольника ABC
равен 1.
Ответ. \sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}
.
Указание. Треугольник с вершинами в точке D
и в центрах окружностей — прямоугольный.
Решение. Предположим, что \angle A=30^{\circ}
. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, вписанных в треугольники ADC
и BDC
, r_{1}
и r_{2}
— их радиусы, M
и N
— точки касания с прямой AB
. Тогда (см. задачу 217)
r_{1}=\frac{CD+AD-AC}{2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}-\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{4},
r_{2}=\frac{BD+CD-BC}{2}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}.
Из прямоугольного треугольника O_{1}DO_{2}
находим, что
O_{1}O_{2}=\sqrt{DO_{1}^{2}+DO_{2}^{2}}=\sqrt{(r_{1}\sqrt{2})^{2}+(r_{2}\sqrt{2})^{2}}=
=\sqrt{\left(\frac{3-\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}-1}{4}\cdot\sqrt{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{(3-\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3}-1)^{2}}}{2\sqrt{2}}=
=\frac{\sqrt{16-8\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}.