953. В трапецию ABCD
вписана окружность. Продолжения боковых сторон трапеции AD
и BC
за точки D
и C
пересекаются в точке E
. Периметр треугольника DCE
и основание трапеции AB
равны соответственно 60 и 20, угол ADC
равен \beta
. Найдите радиус окружности.
Ответ. \frac{60\tg\frac{\beta}{2}}{5+3\cdot\tg^{2}\frac{\beta}{2}}=\frac{30\sin\beta}{4+\cos\beta}
.
Указание. Пусть M
— точка касания данной окружности с отрезком AD
. Выразите отрезки AM
и DM
через радиус окружности и угол \beta
. Найдите периметр треугольника ABE
и воспользуйтесь подобием треугольников EDC
и EAB
.
Решение. Пусть O
— центр данной окружности, r
— её радиус, M
, N
, K
— точки касания с отрезками AD
, DC
, BC
соответственно. Поскольку
EM=EK,~EM+EK=ED+DN+NC+CE=ED+DC+CE=60,
то EM=30
.
Пусть P
— периметр треугольника ABE
. Тогда EM=\frac{P}{2}-AB
(см. задачу 219). Отсюда находим, что
P=2(EM+AB)=2(30+20)=100.
Следовательно, коэффициент подобия треугольников EDC
и EAB
равен \frac{3}{5}
(отношение периметров).
Из прямоугольных треугольников AMO
и DMO
(см. задачу 314) находим, что
DM=\frac{OM}{\tg\angle ODM}=\frac{r}{\tg\frac{\beta}{2}},~AM=OM\tg\angle AOM=r\tg\frac{\beta}{2}.
Поэтому
\frac{ED}{EA}=\frac{EM-MD}{EM+AM}=\frac{\left(30-\frac{r}{\tg\frac{\beta}{2}}\right)}{30+r\tg\frac{\beta}{2}}=\frac{3}{5}.
Отсюда находим, что
r=\frac{60\tg\frac{\beta}{2}}{5+3\tg^{2}\frac{\beta}{2}}=\frac{30\sin\beta}{4+\cos\beta}.