10007. Каково наибольшее значение площади прямоугольного треугольника, вершины которого удалены на расстояния a
, b
и c
от некоторой точки (здесь a
— расстояние до вершины прямого угла)?
Ответ. \frac{1}{2}(bc+a\sqrt{b^{2}+c^{2}-a^{2}})
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть ABC
— прямоугольный треугольник с катетами AB
, AC
и гипотенузой BC
, M
— точка, для которой MA=a
, MB=b
, MC=c
. Достроим треугольник ABC
до прямоугольника ABDC
. Обозначим MD=d
. Тогда a^{2}+d^{2}=b^{2}+c^{2}
(см. задачу 2160).
Достроим треугольник MBD
до параллелограмма MBDM_{1}
. Рассмотрим четырёхугольник MDM_{1}C
со сторонами MD=d
, MC=c
, M_{1}D=MB=b
, M_{1}C=MA=a
(четырёхугольник AMM_{1}C
— также параллелограмм) и диагоналями CD=AB
, MM_{1}=AC
. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны, поэтому (см. задачу 3018)
S_{MDM_{1}C}=\frac{1}{2}CD\cdot MM_{1}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=S_{\triangle ABC}.
Пусть M_{2}
— точка, симметричная M_{1}
относительно серединного перпендикуляра к отрезку CD
. Тогда
S_{MDM_{2}C}=S_{MDM_{1}C}=S_{\triangle ABC}.
Из всех возможных четырёхугольников MDM_{2}C
с заданными сторонами a
, b
, c
и d
рассмотрим четырёхугольник с прямым углом при вершине C
. Тогда из равенства
CM^{2}+CM_{2}^{2}=DM^{2}+DM_{2}^{2}=MM_{2}^{2}
следует, что и угол этого четырёхугольника при вершине D
также прямой (см. задачу 1972). Площадь такого четырёхугольника будет наибольшей из площадей всех возможных четырёхугольников MDM_{2}C
. Эта площадь равна
\frac{1}{2}(bc+ad)=\frac{1}{2}(bc+a\sqrt{b^{2}+c^{2}-a^{2}}).
Можно доказать, что утверждение задачи верно для всех случаев.