10020. В треугольнике ABC
угол A
равен \alpha
, а высота, проведённая к стороне BC
, равна h
. Вписанная в треугольник окружность, касается сторон треугольника в точках K
, M
и P
, где P
лежит на стороне BC
. Найдите расстояние от точки P
до прямой KM
.
Ответ. h\sin\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Пусть вписанная окружность с центром O
касается сторон AB
и AC
треугольника ABC
в точках K
и M
соответственно, AH
— высота треугольника, а R
— точка пересечения AO
и MK
. Поскольку OA\perp MK
(см. задачу 1180) и OM\perp AC
, отрезок MR
— высота прямоугольного треугольника ORM
, опущенная на гипотенузу OA
. Кроме того \angle OMR=\angle OAM=\frac{\alpha}{2}
, поэтому (см. задачу 2728)
OP^{2}=OM^{2}=OR\cdot OA,~\frac{OP}{OA}=\frac{OR}{OP}=\frac{OR}{OM}=\sin\frac{\alpha}{2}.
Значит, треугольник POR
подобен треугольнику AOP
по двум сторонам и углу между ними, причём коэффициент подобия равен \sin\frac{\alpha}{2}
. Тогда \frac{PR}{AP}=\sin\frac{\alpha}{2}
и \angle ORP=\angle OPA
. Следовательно,
\angle APH=\angle APB=90^{\circ}-\angle OPA=90^{\circ}-\angle ORP=\angle PRK.
Пусть N
— проекция точки P
на прямую MK
. Тогда искомое расстояние равно длине отрезка PN
. Из прямоугольного треугольника PNR
находим, что
PN=PR\sin\angle PRK=\frac{PR}{AP}\cdot AP\sin\angle PRK=\sin\frac{\alpha}{2}\cdot h=h\sin\frac{\alpha}{2}.