10029. Рассмотрим вписанный четырёхугольник ABCD
. Пусть M
— точка пересечения его диагоналей, а L
— середина дуги AD
(не содержащей других вершин четырёхугольника). Докажите, что расстояния от точки L
до центров окружностей, вписанных в треугольники ABM
и CDM
, равны.
Решение. Пусть I
и J
— центры вписанных окружностей треугольников ABM
и CDM
соответственно. Поскольку L
— середина дуги AD
, лучи BL
и CL
— биссектрисы углов ABD
и ACD
, поэтому точки I
и J
лежат на этих лучах. Лучи MI
и MJ
— биссектрисы вертикальных углов AMB
и DMC
, поэтому точка M
лежит на отрезке IJ
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle LIJ=\angle LBD+\angle BMI=\angle ABL+\angle BMI=\angle ACL+\angle CMJ=\angle LJI,
поэтому, треугольник ILJ
равнобедренный. Следовательно, LI=LJ
.