10037. В окружность радиуса R
вписан остроугольный треугольник. Расстояние между центром окружности и точкой пересечения медиан треугольника равно d
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого служат основания высот данного треугольника.
Ответ. \frac{R^{2}-9d^{2}}{4R}
.
Указание. См. задачи 5044, 174, 533, 126.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, M
— точка пересечения медиан, H
— точка пересечения высот. Точки O
, M
и H
лежат на одной прямой (прямая Эйлера треугольника ABC
), причём точка M
лежит на отрезке OH
и OM:MH=1:2
(см. задачу 5044). Тогда OM=d
, MH=2d
, OH=3d
.
Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
. В любом треугольнике основания высот лежат на окружности девяти точек (кроме оснований высот на ней лежат середины сторон и середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами треугольника), причём центр O_{1}
этой окружности — середина отрезка OH
, а её радиус R'=\frac{R}{2}
(см. задачу 174). Таким образом, O_{1}
— центр окружности, описанной около треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, а O_{1}H=\frac{3}{2}d
.
Известно также, что точка H
— центр этой окружности (см. задачу 533). Значит, задача сводится к нахождению радиуса r'
вписанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, если известен радиус R'
его описанной окружности и расстояние O_{1}H
между центрами этих окружностей. По формуле Эйлера (см. задачу 126) O_{1}H^{2}=R'^{2}-2R'r'
, откуда
r'=\frac{R'^{2}-O_{1}H^{2}}{2R'}=\frac{\frac{R^{2}}{4}-\frac{9}{4}d^{2}}{2\cdot\frac{R}{2}}=\frac{R^{2}-9d^{2}}{4R}.