10039. В треугольнике ABC
угол B
тупой и равен \alpha
. Биссектрисы углов A
и C
пересекают противоположные стороны в точках P
и M
соответственно. На стороне AC
взяты точки K
и L
так, что \angle ABK=\angle CBL=2\alpha-180^{\circ}
. Чему равен угол между прямыми KP
и LM
?
Ответ. \frac{3}{2}\alpha-90^{\circ}
, если \alpha\lt120^{\circ}
;
270^{\circ}-\frac{3}{2}\alpha
, если \alpha\geqslant120^{\circ}
.
Решение. Пусть N
— точка на продолжении стороны AB
за точку B
. Заметим, что
\angle CBK=\angle ABC-\angle ABK=\alpha-(2\alpha-180^{\circ})=180^{\circ}-\alpha=\angle CBN.
Значит, луч BC
— биссектриса угла KBN
, т. е. внешнего угла при вершине B
треугольника ABK
, а так как AP
— биссектриса внутреннего угла при вершине A
этого треугольника, то KP
— биссектриса внешнего угла BKC
треугольника ABK
(см. задачу 1192). Аналогично LM
— биссектриса угла BLA
.
Пусть O
— точка пересечения прямых LP
и LM
, а угол между этими прямыми равен \varphi
. Рассмотрим ситуацию, изображённую на рис. 1 (точка K
лежит между A
и L
). В этом случае
\alpha=\angle ABC\gt\angle ABK+\angle CBL=2(2\alpha-180^{\circ}),
откуда \alpha\lt120^{\circ}
. Тогда (см. задачу 4770)
\angle KOL=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle KBL=90^{\circ}+\frac{1}{2}(\alpha-2(2\alpha-180^{\circ}))=
=270^{\circ}-\frac{3}{2}\alpha\gt270^{\circ}-\frac{3}{2}\cdot120^{\circ}\gt90^{\circ},
а так как угол между прямыми не может быть больше 90^{\circ}
, то
\varphi=180^{\circ}-\angle KPL=180^{\circ}-(270^{\circ}-\frac{3}{2}\alpha)=\frac{3}{2}\alpha-90^{\circ}.
Если же точка L
лежит между A
и K
или точки L
и K
совпадают (рис. 2 и рис. 3), то \alpha\geqslant120^{\circ}
, и аналогично получим, что
\varphi=270^{\circ}-\frac{3}{2}\alpha.