10059. Две вершины прямоугольника расположены на стороне BC
, а две другие — на сторонах AB
и AC
. Известно, что середина высоты этого треугольника, проведённой к стороне BC
, лежит на одной из диагоналей прямоугольника, а сторона прямоугольника, расположенная на стороне BC
, в три раза меньше BC
. В каком отношении высота треугольника делит сторону BC
.
Ответ. 3:1
(или 1:3
).
Решение. Пусть вершины L
и M
прямоугольника KLMN
лежат на сторонах соответственно AB
и AC
треугольника ABC
, вершины K
и N
— на стороне BC
, точка R
— середина высоты AS
, причём R
лежит на диагонали KM
прямоугольника, O_{1}
— точка пересечения BR
и KL
, O_{2}
— точка пересечения CR
и MN
, E
и T
— точки пересечения высоты AS
с отрезками LM
и O_{1}O_{2}
соответственно.
Поскольку BR
— медиана треугольника ABS
, а KL\parallel AS
, то O_{1}
— середина KL
(см. задачу 2607). Аналогично, O_{2}
— середина MN
. Тогда прямая O_{1}O_{2}
проходит через центр O
прямоугольника, и значит, OO_{1}=OO_{2}=\frac{1}{2}KN
. Кроме того, RO
— медиана треугольника O_{1}RO_{2}
и O_{1}O_{2}\parallel BC
, значит, RK
— медиана треугольника BRC
, т. е. K
— середина BC
.
Положим BC=12x
, AS=6h
. Тогда
LM=O_{1}O_{2}=KN=4x,~AE=AS\cdot\frac{LM}{BC}=6h\cdot\frac{1}{3}=2h,
ER=AR-AE=3h-2h=h,~RS=\frac{1}{2}AS=3h,
~\frac{SN}{SK}=\frac{ME}{SK}=\frac{ER}{RS}=\frac{h}{3h}=\frac{1}{3}.
Значит,
SN=\frac{1}{4}KN=\frac{1}{4}\cdot4x=x,~SK=3x.
Следовательно,
\frac{BS}{SC}=\frac{6x+3x}{12x-(6x+3x)}=3.
Если же точка R
лежит на диагонали LN
прямоугольника, то аналогично получим, что искомое отношение равно \frac{1}{3}
.