10062. Дан треугольник ABC
. На его сторонах BC
, AC
и AB
взяты соответственно точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
так, что
2\angle B_{1}A_{1}C_{1}+\angle BAC=180^{\circ},~2\angle A_{1}C_{1}B_{1}+\angle ACB=180^{\circ},~2\angle A_{1}B_{1}C_{1}+\angle ABC=180^{\circ}.
Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольников A_{1}B_{1}C_{1}
(рассматриваются всевозможные такие треугольники).
Ответ. Центр окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Решение. Заметим, что такие треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
существуют. Например, треугольник, вершинами которого являются точки касания его сторон со вписанной в него окружностью (см. задачу 1303).
Пусть A_{1}B_{1}C_{1}
— произвольный такой треугольник. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\lt90^{\circ}.
Аналогично для других углов треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Значит, треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
остроугольный, поэтому центр O
его описанной окружности расположен внутри него.
Центральный угол B_{1}OC_{1}
этой окружности вдвое больше вписанного угла B_{1}A_{1}C_{1}
, т. е.
\angle B_{1}OC_{1}=2\angle B_{1}A_{1}C_{1}=2\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=180^{\circ}-\alpha.
Значит, четырёхугольник AB_{1}OC_{1}
вписанный (см. задачу 49). Поскольку OC_{1}=OB_{1}
, точка O
— середина дуги B_{1}OC_{1}
описанной окружности этого четырёхугольника. Следовательно, \angle OAB_{1}=\angle OAC_{1}
, т. е. AO
— биссектриса угла CAB
. Аналогично докажем, что точка O
лежит на биссектрисах двух других углов треугольника ABC
. Таким образом, для любого треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, удовлетворяющего условию задачи, O
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, т. е. центр его вписанной окружности.