10086. Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника:
а) не больше \frac{3}{4}P
, где P
— периметр этого треугольника;
б) не меньше \frac{3}{4}p
, где p
— полупериметр этого треугольника.
Решение. Пусть медианы AA_{1}
и BB_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке M
. Положим BC=2a
, AC=2b
, AB=2c
, AA_{1}=3x
, BB_{1}=3y
. Тогда A_{1}B_{1}=\frac{1}{2}AB=c
как средняя линия треугольника ABC
. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины (см. задачу 1207), поэтому MA_{1}=x
, MB_{1}=y
.
а) Запишем неравенства треугольников для треугольников BA_{1}B_{1}
, AB_{1}A_{1},A_{1}MB_{1}
и сложим их.
3x\lt a+c,~3y\lt b+c,~c\lt x+y.
Отсюда 2(x+y)\lt a+b+c
. Умножив это неравенство на \frac{3}{2}
, получим, что
AA_{1}+BB_{1}=3x+3y=\frac{3}{2}\cdot2(x+y)\lt\frac{3}{2}(a+b+c)=\frac{3}{4}P.
б) Запишем неравенства треугольников для треугольников BMA_{1}
, AMB_{1}
, A_{1}MB_{1}
и сложим их.
a\lt2x+y,~b\lt x+2y,~c\lt x+y.
Отсюда 4(x+y)\gt a+b+c
. Умножив это неравенство на \frac{3}{4}
, получим, что
AA_{1}+BB_{1}=3x+3y=\frac{3}{4}\cdot4(x+y)\gt\frac{3}{4}(a+b+c)=\frac{3}{4}p