10090. На листе бумаги синим карандашом нарисовали треугольник, а затем провели в нём красным карандашом медиану, биссектрису и высоту (возможно, не все из разных вершин), лежащие внутри треугольника. Получили разбиение треугольника на части. Мог ли среди этих частей оказаться равносторонний треугольник с красными сторонами?
Ответ. Мог.
Решение. Пусть в треугольнике ABM
с углами соответственно 90^{\circ}
, 60^{\circ}
и 30^{\circ}
высота AH
и биссектриса BL
пересекаются в точке K
(см. рис.). Простой подсчёт углов показывает, что в треугольнике ABM
сторона AM
, высота AH
и биссектриса BL
образуют красный равносторонний треугольник AKL
. Отметив теперь точку C
так, чтобы M
стала серединой отрезка BC
, получим требуемую конструкцию.
Примечание. Конструкция единственна.