10096. Две окружности радиусов R
и r
пересекаются; A
— одна из точек пересечения, BC
— общая касательная (B
и C
— точки касания). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. \sqrt{Rr}
.
Указание. Примените теорему об угле между касательной и хордой, а также теорему синусов.
Решение. Пусть B
и C
— точки на окружностях радиусов R
и r
соответственно, а x
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
.
Отметим на первой окружности точку M
, отличную от A
и B
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle AMB=\angle ABC=\beta~\mbox{или}~\angle AMB=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-\beta.
По теореме синусов AB=2R\sin\angle AMB=2R\sin\beta
. Аналогично, AC=2r\sin\gamma
.
Также в треугольнике ABC
по теореме синусов
x=\frac{AB}{2\sin\gamma}=\frac{2R\sin\beta}{2\sin\gamma}=\frac{R\sin\beta}{\sin\gamma},~x=\frac{AC}{2\sin\beta}=\frac{2r\sin\gamma}{2\sin\beta}=\frac{r\sin\gamma}{\sin\beta}.
Перемножив эти равенства, получим
x^{2}=\frac{R\sin\beta}{\sin\gamma}\cdot\frac{r\sin\gamma}{\sin\beta}=Rr.
Следовательно, x=\sqrt{Rr}
.