10101. Окружность с центром в точке I
вписана в четырёхугольник ABCD
. Лучи BA
и CD
пересекаются в точке P
, а лучи AD
и BC
пересекаются в точке Q
. Известно, что точка P
лежит на окружности \omega
, описанной около треугольника AIC
. Докажите, что точка Q
также лежит на окружности \omega
.
Решение. Четырёхугольник AICP
вписан в окружность \omega
, поэтому
\angle DCI=\angle PCI=180^{\circ}-\angle PAI=\angle BAI=\angle QAI
(AI
— биссектриса угла BAQ
). С другой стороны,
\angle DCI=\angle BCI=180^{\circ}-\angle QCI.
Из равенства \angle QAI=180^{\circ}-\angle QCI
получаем, что четырёхугольник AQCI
также вписан в окружность \omega
, т. е. точка Q
лежит на \omega
.