10110. Вокруг прямоугольника описан четырёхугольник так, что две противоположные вершины прямоугольника являются серединами двух противоположных сторон четырёхугольника. Докажите, что площадь прямоугольника равна половине площади четырёхугольника.
Решение. Пусть вершины X
и Q
прямоугольника XPQY
— середины сторон соответственно AB
и CD
четырёхугольника ABCD
(рис. 1).
Пусть E
— точка, симметричная точке A
относительно прямой PX
. Тогда EX=XB=XA
, поэтому \angle AEB=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Значит, BE\perp XY
и EX=BX
. Следовательно, точка E
симметрична точке B
относительно прямой XY
. Аналогично докажем, что точка F
, симметричная C
относительно прямой YQ
, симметрична точке D
относительно прямой PQ
.
Пусть T
— точка на продолжении стороны PQ
за точку P
. Тогда
\angle EPQ=\angle APT=\angle DPQ=\angle FPQ,
поэтому точка F
лежит на прямой PE
. Аналогично, точка F
лежит на прямой YE
.
Если прямые PE
и YE
различны, то F
и E
совпадают (рис. 2). В этом случае, сумма площадей треугольников PAX
, XBY
, YCQ
и PDQ
равна площади прямоугольника XPQY
. Следовательно, площадь прямоугольника равна половине площади четырёхугольника ABCD
.
Если же прямые PE
и YE
совпадают, то получаем тот же результат (см. рис. 3).