10123. Точка Q
расположена внутри остроугольного треугольника ABC
. Известно, что
\angle QAC\geqslant\angle QAB,~\angle QBA\geqslant\angle QBC,~\angle QCB\geqslant\angle QCA.
Докажите, что Q
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Решение. Пусть M
, N
и K
— основания перпендикуляров, опущенных из точки Q
на стороны AB
, BC
и AC
соответственно. Отрезок QA
— общая гипотенуза прямоугольных треугольников AMQ
и AKQ
, а \angle QAK\geqslant\angle QAM
, следовательно,
QK=QA\sin\angle QAK\geqslant QA\sin\angle QAM=QM.
Аналогично докажем, что QM\geqslant QN
и QN\geqslant QK
. Значит, QM=QN=QK
, а так как точка Q
лежит внутри треугольника ABC
, то Q
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
.