10134. Сторону AB
треугольника ABC
разделили на n
равных частей (точки деления B_{0}=A,B_{1}
, B_{2}
, …, B_{n}=B
), а сторону AC
этого треугольника разделили на n+1
равных частей (точки деления C_{0}=A
, C_{1}
, C_{2}
, …, C_{n+1}=C
). Закрасили треугольники C_{i}B_{i}C_{i+1}
. Какая часть площади треугольника закрашена?
Ответ. Половина.
Решение. Покажем, что закрашенная часть составляет ровно половину площади всего треугольника. Для этого из точек B_{1}
, …, B_{n}
опустим перпендикуляры на сторону AC
. Эти перпендикуляры являются высотами треугольников C_{i}B_{i}C_{i+1}
с одинаковыми основаниями, причём, как следует из соображений подобия, h_{i}=ih_{1}
. Отсюда вытекает, что таким же соотношением будут связаны площади окрашенных треугольников: S_{i}=iS_{1}
. (На рисунке изображён случай n=4
.)
Опустив затем перпендикуляры из точек C_{1}
, …, C_{n}
на сторону AC
, и рассуждая аналогично, получим такое же соотношение для площадей незакрашенных треугольников. Осталось заметить, что площадь первого закрашенного треугольника равна площади первого незакрашенного (их основания равны, а высота h_{1}
общая).
Примечание. Равенство площадей соответствующих пар треугольников (закрашенного и незакрашенного) можно получить практически без вычислений, воспользовавшись тем, что прямые B_{i}C_{i}
параллельны друг другу. Поэтому S_{\triangle B_{i-1}B_{i}C_{i}}=S_{\triangle C_{i-1}B_{i}C_{i}}
(у них общее основание B_{i}C_{i}
, а вершины лежат на прямой, параллельной основанию) и S_{\triangle C_{i-1}B_{i}C_{i}}=S_{\triangle B_{i}C_{i}C_{i+1}}
(вершина B_{i}
общая, а C_{i-1}C_{i}=C_{i}C_{i+1}
по условию).