10138. Дан параллелограмм ABCD
. Две окружности с центрами в вершинах A
и C
проходят через вершину D
. Прямая l
проходит через точку D
и вторично пересекает окружности в точках X
и Y
. Докажите, что BX=BY
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Имеем
AX=AD=BC,~CY=CD=AB.
Кроме того,
\angle BCY=\angle C-\angle DCY=\angle C-(180^{\circ}-2\angle CDY)=
=2\angle CDY-\angle D=\angle CDY-\angle ADX,
\angle BAX=\angle DAX-\angle A=180^{\circ}-2\angle ADX-\angle A=
=\angle D-2\angle ADX=\angle CDY-\angle ADX.
Значит, треугольники ABX
и CYB
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BX=BY
.
Другие случаи расположения точек X
и Y
рассматриваются аналогично.